转篇好文章，关于数学的。

Sun, 01 Jun 2008 04:49:13 GMT

原文地址：http://blog.codingnow.com/2007/08/e.html

欧拉数 e

如果人生有一个终极追求的话，我想那是真理。

一个人的时间是有限的，而真理似乎在无限远处，探索真理需要一代代人的努力，我们靠近一点，就可以让下一代人的起步更接近一些。这可能也是我们的前辈所想所作，所以我们需要学习前人留下的知识。避免又从原点出发。

知识不是数据库中的数据，一个 copy 指令就可以复制出去，永不消逝。书是媒介，大脑才是载体。人类的信息输入带宽极其有限，远低于大脑的处理能力（如果你能善用他的话）。浪费带宽这种稀缺资源是让人痛心的，故而我爱读书。

心情平静的时候读，神情气爽；烦闷的时候读，调节心境；闲暇的时候读，消磨时光；繁忙的时候读，释放压力。我有睡前读书的习惯。昨晚，天气不热，但似乎楼上楼下的人家都习惯性的开着空调。窗外滴滴嗒嗒的是冷凝管滴水的声音。突然想起李清照的两句词来：枕上诗书闲处好，门前风景雨来佳。

这次枕边放的是一本：《什么是数学》。

早听说这是一本好书，也买了很久了。总静不下心读。前次顺着翻了前面几章，权当催眠读物了。枯燥归枯燥，但我绝对承认这本书写的相当不错。相比许多数学读物，他已经非常生动了。知识点一环扣一环，遵循严密的逻辑推理，而不是凭空跳出一个结论让你接受。或是想当然的认为你应该受过专业的数学训练，承认一些公认的定理和规则。

什么是数学？数学表达的是对象与对象间的关系，而不探究对象到底是什么。它在公理的基础上演绎，而不讨论公理本身的真假。数学是美妙的，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的推理以及对完美境界的追求。

学习掌握数学，可以极大的帮助我们洞察这个世界。数学是一种思维方式，而绝不是解题训练。

当反思为什么我一方面喜爱数学，一方面又觉得满是公式的数学书读起来枯燥无比时。我意识到，虽然逻辑推理演绎是缜密而有趣的，但并非人脑天然的运作方式，这个需要后天的训练。当突如其来的逻辑推理需求超过当时接收者大脑可以承受的压力时，必然会导致疲惫和挫折感。也就是处理能力小于信息输入带宽的表征吧。

我的机械记忆力不太好，从小开始，我就拒绝接受没有弄明白的道理。一知半解的东西在脑海中也总是只能暂时停留。以至于我对数学的掌握只能是熟练运用初等数学，而对高等数学粗通皮毛。记得读大学的时候，我的数学老师是全校最好的老师之一。可惜那个时候沉迷编程，觉得了解一点混过考试就够了，错过了学习高等数学最好的时机。大学毕业后，大部分都忘记了。直到前不久，我能记起并运用的微积分与线性代数知识还都是高中时代自学的。现在还依稀记得大学头两年的高数课，老师讲的其实还是满清晰的，也不是填鸭式教学，悔不该当初不多下点工夫真正理解啊。

发自内心的学习欲望，无论从什么时候开始都不晚。

昨天随便一翻书，居然是微积分章节的第一页。这个巧合让我一直读下去。没想到一发不可收拾，直到天色发白，才恋恋不舍的合上书睡去。这时，已经把这一章读完了。

我想起我的数学观念被启蒙前的一些事情，那个时候刚上小学，父亲工作忙，我主要是母亲带着。上学前她教我识字，计数，画画等，但没有特别教给我系统的科学知识。入学后，除了课本上的东西外，没有人强迫我学习更多东西。我记得那个时候自己老是瞎想，比如远近，轻重这些物理概念。说起距离这个概念，可以说是天生自然的诞生的，不需要人教。因为距离是可以直接比画被直觉感觉到的。但是，面积的概念却很难自发的产生。这个问题曾经困扰过我很久，父亲告诉我，矩形的面积就是长乘宽。我接受这个结论，并承认它的合理性，但内心总觉得别扭。虽然我自己从这个结论推导出更多例如三角形面积公式等，但我对其根源却总是心存芥蒂。

有一次我想知道圆的面积怎么计算（乐小样批注：我也曾经拿着张纸去跑到另一幢楼问过姐姐怎么求...），在白纸上画了个圆去问父亲。他并没有直接告诉我答案。现在想想，向一个小孩子解释 Pi 应该不是件容易的事情。我继续自己去想：如果能知道铅笔尖的面积，那么我一点点的将圆涂满，数一下用了多少点，应该可以相当于圆面积吧？父亲看我不停的在纸上戳点，问出我的想法，笑着说，原来我儿子这么小就懂微积分了（乐小样批注:这父亲引导的很好~） :D 当然，向小孩子解释什么是微积分是很困难的。那个时候父亲一定跟我解释过，不然我不可能对这个名词记得这么清晰。但是我也肯定没弄懂。

后来我知道，求面积其实是一种积分（积累微小的分片、我这样理解这个词）的过程。学会抽象思维后，我不再对矩形面积公式介怀。

这些亲身经历的故事告诉我自己，无中生有的构造出新的概念，对于一个没受过数学训练的人不是件容易的事。新的知识一开始应该给人有直观的感受，才容易让人记忆深刻。逻辑、分析、构作，则可以加强这些记忆并接受它们。

其实原本是想谈谈欧拉数 e 的。跑题太远了，谁让我是在写 blog 呢，无所谓了。

e 是一个很出名的数字，但在大众，远不如 Pi 来的有名。它不够直观，不像 Pi ，可以表示半径为 1 的圆的面积。

有一年校园招聘的时候，面试一个数学系的本科毕业生，我的同事提了个问题：什么是 e ？未能听到满意的答案。

是啊，我们知道科学计算器上总有个按纽上标着 ln ，说明书告诉我们它可以用来取以 e 为底的对数；大多数计算机编程语言的数学库中总会提供一个 exp 函数，用于求 e 的幂；中学老师告诉我们 e 是自然对数的底；e 是 2.718281828459 ……

但是 e 到底是什么？。可为什么要选择这么一个特殊数字命名为 e ？书本上一定讲过、课堂上许多老师也讲过，可还是很多人事后忘记了。我在这里再谈一次不为过。

跟 Pi 一样，e 也可以从几何上给出一个直观的表示。不过这个图形不没有圆那么容易画出来。我们需要作 f(x)=1/x 的函数图象，是一个双曲线。在第一象限，从 x=1 到 x=e 之间，曲线和坐标轴之间所夹的面积正好的单位 1 。

这样的几何上的描述对并不够有说服力，因为它只是诸多函数图象中的一个，没有什么特别。下面我们得看看， f(x)=1/x 这个函数的特殊之处。

如果你认可微积分在现代数学中的重要地位，那么就会发现，对多项式求导是研究各种问题的一个重要手段（比如在经典物理学中，研究速度、加速度、距离等之间的关系）。借助初等数学的推理，我们就可以得到对多项式求导的公式（这里就不展开列出了，但是这些推导过程对理解微积分很有帮助，而且仅需要初等数学知识就可以做到）： x ^ n 的导数为 n * x ^ (n-1) 。

反过来，x ^ n 就是 x ^ (n+1) / (n+1) 的导数。这种逆运算，被称之为不定积分。

btw, 诚如《什么是数学》书中所述：简单地定义“不定积分”为导数的逆运算，这种做法是把微分过程直接和“积分”这个词结合起来。然后引进作为面积或者和的极限的“定积分”的概念，而不强调这里“积分”这个词指的是完全不同的东西。会大大有碍于学生的真正理解。我个人也是很反感强加的概念：直接定义这种逆运算规则是让人不可接受的。其实这其中隐示的东西，正是牛顿和莱布尼兹为数学做出的杰出贡献。是他们首先把前人已经为积分和微分上做出的工作结合在了一起，思想上做了统一。这里不展开讨论微积分，仅仅只是不想离题太远而已。

当我们考察 x ^ (n+1) / (n+1) ，当 n=-1 时，分母为零，公式将失去意义。那么对 x ^ -1 即 1/x 的积分会引出怎样一种函数，就变的非常有趣了。以下，我们就直接用 ln x 来表示对 1/x 从 1 到 x 的积分。而 ln x 的导数则为 1/x 。

根据微积分中的基本定理（可直观的用初等数学方法证明的定理），我们可以得到若干对数运算的法则。又因为 ln(x) 是 x 的单调连续函数，当 x=1 时值为 0 ，且 x 增大时趋向无穷大，这样，就必定存在一个大于 1 的数，当 x 取此值的时候 ln(x) = 1 。

这个数值就是被欧拉称之为 e 的东西。

当我们考察 y=ln(x) 的反函数、即 x=exp(y) 时，会发现 exp(y) 这个函数的值在 y 为有理数时，和 e ^ y 的值总是一致的。这一点并不难证明。既而很容易得到幂函数的公式 e^a * e ^b = e^(a+b) ，且可证明它对任意有理数或无理数皆成立。

整个研究过程，从对数推导出幂函数，从自然数推导到有理数再到无理数，借助微积分这个工具的帮助，都很容易的走过来。这样的过程，在中学时，老师则是从整数幂 a^n 开始，定义 a^(1/m) 的意义，从而将幂函数推广到有理数集。两种推导方式向比较，中学时我们学过的初等数学的方法就不那么逻辑缜密了。这里面微妙的地方在于，初等数学借助一个想当然的定义跳过了逻辑的断层，而微积分就是来弥补这个裂痕的。虽然微积分的解释得花更多的脑力去理解，但它可以充分让我信服。

在这些讨论中，对数函数和指数函数都是以数 e 为“底”展开的，所以我们也把 e 称之为对数的“自然底”，或是“自然对数的底”。继续把底数 e 推广到任意正数的变换是容易作出的，而 e 则是变换的根本。

e 在其中的地位，好象 1 在自然数中的地位一样。虽然日常我们用 10 进制计数，但 2 进制却只用 0 和 1 ，即无和有两个概念，就衍生出了一切。其余的符号都是冗余。现代计算机广泛应用 2 进制之前，莱布尼兹就已经对二进制推崇倍至。我们可以把 10 进制记数规则看作是 2 进制的一种衍伸，人类选择 10 进制只是因为碰巧生了 10 个指头而已，而 2 进制则是永恒存在的。

最终，由微分法则我们可以得到一个奇妙的结论：以 e 为底的指数函数的导数就是它自身，即自然指数函数与它的导数恒等。这一点，实际上是指数函数所有性质的来源，并且是它在应用上之所以重要的基本原因。

ps.以上的文字并没有涉及具体的推理和证明，那需要相当的篇幅。但我觉得期盼得到高等数学真谛而未入其门的朋友都值得去找出书来读懂。这些过程用初等数学的知识就可以理解。

最后忍不住再提一下“素数定理”。它由高斯发现，并被誉为整个数学中最著名的发现之一。

至今人类未能找出一个产生所有素数的简单公式，也没有找到求前 n 个自然数中所有素数个数的简单公式。但是考察素数在自然数中的分布规律时，却找到了些许规律。

高斯发现，在自然数 n 极大时，n 与 n 之内素数个数的比值，近似等于 ln (n) 。n 越大越接近。不过前者是两个自然数的比值，是一个有理数；而 ln (n) 是一个无理数。两者只会无限接近，而永远不会相等。

素数的分布的平均状态居然可以用对数函数来描述，这太有趣了。两个似乎无关的数学概念在事实上竟有如此紧密的联系，真是让人拍案称奇。

（ｐｓ看风云的博客会静心）

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乐小样: 数学算法

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